기저 벡터의 정의
벡터 공간에서 각각의 축방향을 가리키는 단위 벡터
라고 한다. 간단해서 좋다. 하지만 이것으론 부족해서 조금 더 자세한 정의를 찾아 보았다.
기저 벡터란 n차원 공간에서 임의의 벡터를 표현할 수 있는 기준이 되는 벡터이다. n차원(R^n)에서는 n개의 벡터가 있어야 기저 벡터가 이루어지며, 또한 벡터가 서로 선형독립적이거나 행렬식이 0이 되지 않아야 기저 벡터이다.
위의 정의도 결론은 n차원에서 임의의 벡터를 표현하기 위한 기준이 되는 벡터란다. 결국 축방향을 가리키는 단위 벡터라는 말이다. '선형 독립'에 관해서는 [여기]를 참조 하자.
기저 벡터에 대해 좀 더 자세히 설명하자면, 예를 들어 1차원 공간을 상상해 보자. 1차원이라고 하면 직선 공간을 말한다. 옆도 없고 위도 없고 오로지 일직선 하나만 있는 공간이다. 1차원의 기저벡터는 '1'이다. 거기에 무리수 or 유리수를 곱하면 1차원직선에 해당하는 모든 점들을 만들어 낼 수 있다.
이제 위의 1차원에서 그렸던 직선에 평행하지 않는 다른 직선을 그려보자. 이 두 직선을 이용해 평면. 즉, 2차원 공간을 만들어 낼 수 있다. 여기서 첫번째 직선의 기저벡터와 두번째 직선의 기저벡터가 각각 2차원의 기저벡터가 된다. "일반적"으로 직교 좌표계에서는 x, y 축의 단위벡터를 기저벡터로 삼는다. 하지만 직교좌표계가 아닌 일반좌표계(교차각이 90도가 아닌 경우)에서도 2차원 평면상의 모든 점을 결정 할 수 있다.
여기에서 차원을 하나 더해 우리 실생활과 같은 3차원을 만들어 보자. 위의 두 직선이 만들어낸 평면에 평행하지 않고 평면과 교차하는 직선을 추가하면 된다. 이 직선에서의 기저벡터와 이전 평면에서의 기저벡터가 각각 3차원의 기저벡터가 된다. 이 세 개의 단위벡터(일반적으로)를 이용해 3차원상에서 존재할 수 있는 모든 점들을 표현 할 수 있다.
정리하면 기저벡터란 공간을 표현하기 위한 기본 단위 정도로 생각할 수 있겠다. 기저 벡터에 유리수 or 무리수를 곱하면 해당 공간에서 그려 질 수 있는 모든 점을 표현 할 수 있고, 차원이 더해 질수록 필요한 기저벡터도 늘어난다.
