벡터는 두 점들 사이의 차이 또는 변위(displacement)를 나타낸다.
기하학에서의 벡터
기하학에서의 벡터(일반적으로 'v' 라고 표현)는 크기(또는 길이)와 방향을 가지는 요소이고 끝이 화살표인 선분으로 표현된다.
- 길이(or 크기)가 1인 벡터는 '단위' 또는 '정규화된' 벡터라고 한다.
- '제로 벡터'는 길이가 0이고 방향을 가지지 않는다.
- 벡터는 위치를 가지지 않는다. 위치와 상관 없이 동일한 크기와 방향을 가지는 벡터는 같다.
기하학에서 벡터는 '방향'과 '변화', 이 두가지 의미로 사용 될 수 있다.
벡터의 덧셈 뺄셈
실수와 마찬가지로 벡터도 산술 연산이 가능하다. 벡터의 덧셈은 두 벡터를 결합하여 새로운 벡터를 만든다.
벡터의 덧셈의 대수학적 법칙은 실수의 덧셈과 유사하다.
- v + w = w + v (교환 법칙)
- u + (v + w) = (u + v) + w (결합 법칙)
- v + 0 = v (덧셈의 항등원)
- 모든 v에 대해 v + (-v) = 0 식을 만족하는 벡터 -v가 존재한다. (덧셈의 역원)
뺄셈의 결과 벡터는 두번째 벡터(B)의 머리에서 첫번째 벡터(A)의 머리로 이어진다.
벡터의 스칼라 곱셈
벡터의 곱셈은, 하나의 실수 값을 벡터에 곱해서 벡터의 길이를 변화 시킨다.
- (ab)v = a(bv) (결합 법칙)
- (a + b)v = av + bv (분배 법칙)
- a(v + w) = av + aw (분배 법칙)
- 1 dot v = v (곱셈의 항등원)
벡터의 내적(dot product)
내적은 scalar product(스칼라 곱) 또는 dot product라고도 하며 기호로 •(dot)을 사용한다. 벡터의 내적을 이용해 두 벡터 사이의 각을 구할 수 있다.
내적을 구하는 두가지 방법 :
1. 벡터의 각 성분값을 곱하여 더하는 것
A • B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
2. 두 벡터의 크기를 곱하는 것
<u, v> = u • v = |u||v|cosθ
- |u|는 u벡터의 크기를, |v|는 v벡터의 크기를 의미. (벡터의 크기에 관해서는 벡터(vector)의 길이를 참고)
- θ는 u라는 벡터와 v라는 벡터가 이루고 있는 0과 180도 사이의 각.
- 벡터 v의 크기가 아니라 |v|cosθ 와 같이 곱해주는 이유는 실제 벡터 v가 벡터 u에 미치는 영향은 |v|cosθ 이기 때문이다.
벡터의 외적(cross product)
벡터의 내적, 외적이라고 이름만 비슷하지 서로 전혀 다른 연산이다. 'A ⨉ B'로 표현하며, 두 개의 벡터에 수직하는 벡터의 방향과 크기를 구할 수 있다.
A ⨉ B = (AyBz - AzBy, AzBx - AxBz, AxBy-AyBx)
