[이전] 포스트에서 벡터는 크기와 방향을 가진다고 했으며, 그중 크기(또는 길이)를 나타내는 것이 바로 벡터의 '길이'이다.
v = <10, 5, 2> 일 때, 벡터 v의 크기는 얼마인가?
대략 보면 답이 없다. 값 세 개로 벡터의 크기를 구하라니..이번 포스트에서는 주어진 벡터로 그 '크기(길이)'를 구하는 방법에 대해서 공부해 보도록 하겠다.
들어가기에 앞서..
- 벡터의 길이는 스칼라 값이다.
- 벡터의 길이를 나타내기 위해 ‖v‖와 같은 방식으로 표기한다(절대 값을 나타내는 |a|와 구분하기 위함)
를 알아 두자.
수학 책에 나오는 Rn인 공간에서 벡터의 길이를 구하는 공식은 간단하다 :
‖v‖ = sqrt(v02 + v12 + v22 + ... + vn2)
하지만 어떻게 저런 공식이 나왔는지에 대해서는 설명을 자세히 하는 책이 드물다. 오늘은 어떻게 저런 공식이 나오게 되었는지를 연구해 보도록 하자. 문제를 간단하게 하기 위해 1차원에서 부터 시작 해 보자.
1차원 공간에서 벡터의 길이 구하기
1차원에서 벡터의 길이를 구하는 것은 직관적이며 쉽다. 1차원이라는 공간은 직선 하나 뿐인 공간이다. 벡터가 뻗을 수 있는 방향은 한방향 뿐이고 주어진 좌표가 바로 벡터의 크기다.
예를 들어 v = <10>인 벡터의 길이는 10이다.
‖v‖ = sqrt(102)
2차원 공간에서 벡터의 길이 구하기
2차원 공간의 벡터는 x, y 두 축 내에서 모두 표현 가능하다. 일반 적으로 a = <xi, yj>와 같은 형태로 쓰여 지며 그림으로 표현 한다면 아래처럼 표현이 가능하다.
뭔가 느껴지는 것이 없는가? 바로 '직각 삼각형'으로 그리는 것이 가능하다는 것이다. 직각 삼각형이 가능하다면 그 유명한 '피타고라스의 정리'가 적용 가능 하다는 의미이기도 하다.
만일 a = <10, 5> 인 2차원 벡터가 있다고 하자. 위의 [그림 1]처럼 그림을 그리게 된다면 빗변의 길이를 구하는 것이 바로 벡터의 길이를 구하는 것이된다. 그렇다면 :
‖a‖ = sqrt(102 + 52)
와 같이 정리 될 수 있다.
3차원 공간에서 벡터의 길이 구하기
1차원 벡터는 그냥 좌표가 길이고, 2차원 벡터는 피타고라스 정리를 이용하면 된다는 것을 알았다. 하지만 아래와 같은 3차원은 어떻게 해야 할까?
문제를 간단히 하기 위해서 두개의 평면을 분리 하는 방법을 사용했다.
먼저 x, y 축이 이루는 평면에 대한 벡터의 길이를 구한다. 그러고 나면 z 축에는 수직인 직선 하나가 만들어 지고, 우리는 그 직선의 길이를 알수 있다. 그럼 이것을 다시 하나의 평면으로 생각하고 피타고라스의 정리를 한번 더 적용한다. 이렇게 되면 우리는 최종적으로 3차원 공간에 적용된 벡터의 길이를 구할 수가 있다.
예를 들어 a = <10, 5, 2>일 때 벡터의 크기를 구하는 방법을 살펴 보자.
‖a‖ = sqrt(102 + 52 + 22)
위와 같은 방식으로 한 차원 한 차원 장인 정신으로 직선을 압축시켜 가면 n차원 까지 벡터의 길이를 구할 수 있고 그것을 공식화 하면 ‖v‖ = sqrt(v02 + v12 + v22... + vn2) 와 같은 형태가 된다.
오늘의 포스팅은 여기까지..
