벡터는 두 점들 사이의 차이 또는 변위(displacement)를 나타낸다.
기하학에서의 벡터
기하학에서의 벡터(일반적으로 'v' 라고 표현)는 크기(또는 길이)와 방향을 가지는 요소이고 끝이 화살표인 선분으로 표현된다.
- 길이(or 크기)가 1인 벡터는 '단위' 또는 '정규화된' 벡터라고 한다.
- '제로 벡터'는 길이가 0이고 방향을 가지지 않는다.
- 벡터는 위치를 가지지 않는다. 위치와 상관 없이 동일한 크기와 방향을 가지는 벡터는 같다.
기하학에서 벡터는 '방향'과 '변화', 이 두가지 의미로 사용 될 수 있다.
벡터의 덧셈 뺄셈
실수와 마찬가지로 벡터도 산술 연산이 가능하다. 벡터의 덧셈은 두 벡터를 결합하여 새로운 벡터를 만든다.
벡터의 덧셈의 대수학적 법칙은 실수의 덧셈과 유사하다.
- v + w = w + v (교환 법칙)
- u + (v + w) = (u + v) + w (결합 법칙)
- v + 0 = v (덧셈의 항등원)
- 모든 v에 대해 v + (-v) = 0 식을 만족하는 벡터 -v가 존재한다. (덧셈의 역원)
뺄셈의 결과 벡터는 두번째 벡터(B)의 머리에서 첫번째 벡터(A)의 머리로 이어진다.
벡터의 스칼라 곱셈
벡터의 곱셈은, 하나의 실수 값을 벡터에 곱해서 벡터의 길이를 변화 시킨다.
- (ab)v = a(bv) (결합 법칙)
- (a + b)v = av + bv (분배 법칙)
- a(v + w) = av + aw (분배 법칙)
- 1 dot v = v (곱셈의 항등원)
벡터의 내적(dot product)
내적은 scalar product(스칼라 곱) 또는 dot product라고도 하며 기호로 •(dot)을 사용한다. 벡터의 내적을 이용해 두 벡터 사이의 각을 구할 수 있다.
1. 벡터의 각 성분값을 곱하여 더하는 것
A • B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
2. 두 벡터의 크기를 곱하는 것
<u, v> = u • v = |u||v|cosθ
- |u|는 u벡터의 크기를, |v|는 v벡터의 크기를 의미. (벡터의 크기에 관해서는 벡터(vector)의 길이를 참고)
- θ는 u라는 벡터와 v라는 벡터가 이루고 있는 0과 180도 사이의 각.
- 벡터 v의 크기가 아니라 |v|cosθ 와 같이 곱해주는 이유는 실제 벡터 v가 벡터 u에 미치는 영향은 |v|cosθ 이기 때문이다.
벡터의 외적(cross product)
벡더의 외적은 두 벡터의 곱(..이라고 하지만 우리가 생각하는 일반적인 곱셈 연산은 아니다..) 연산이며 주로 3차원 공간 벡터에서 정의되는 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 벡터를 구하는 연산이다.
벡터의 외적을 구하는 방법
1. 벡터의 정의
두 벡터 A와 B를 다음과 같이 정의 한다.
A=(Ax,Ay,Az), B=(Bx,By,Bz)
2. 외적 공식
외적 A X B는 다음 공식으로 계산 된다(여기서 i, j, k는 각각 x, y, z축 방향 단위 벡터다).
3. 행렬식 전개
위 행렬식을 전개하면
A×B = i(AyBz−AzBy) − j(AxBz−AzBx) + k(AxBy−AyBx)
이를 벡터 형태로 정리하면 :
A×B = ((AyBz−AzBy), −(AxBz−AzBx), (AxBy−AyBx))
벡터 외적의 방향의 의미
벡터의 외적은 교환 법칙이 성립하지 않는다. 이 말은 A X B 와 B X A는 서로 다른 값을 가진다는 뜻이다.
A X B 일 때, A를 앞 벡터, B를 뒷 벡터라고 부르도록 하겠다. 만일 A에서 B로 회전을 할 때, 왼쪽으로 회전을 하게 된다면 외적의 결과는 윗방향이다. 만일 B가 앞 벡터가 되고, A가 뒷 벡터가 되는 경우 외적의 결과는 아래를 향한다.
이를 이용해 상대 벡터가 현재 벡터의 좌측에 있는지 우측에 있는지를 구분해 낼 수 있다.
위 처럼 외적의 결과로 나오는 법선 벡터의 방향을 오른손의 엄지 손가락과 나머지 손가락들이 구부러지는 방향을 가지고 설명한 것을 오른손 법칙이라고 한다. 글 보다는 영상 설명이 훨씬 이해가 빠르므로 다음 링크를 참고 하도록 하자. 특히 4분경 부터 설명하는 y, z 축 벡터의 외적의 경우 오른손 법칙을 적용했을 때 위쪽 방향이 x축 마이너스라고 설명하는 부분을 집중해서 보도록 하자.
